トポロジーは、数学の一分野であり、物体の形状や構造の「連続的な変形」に焦点を当てて研究されます。たとえば、曲げたり伸ばしたりしても形を保つような性質（穴の数や連結性など）を研究する分野です。この記事では、トポロジーの基本概念から、いくつかの具体的な例を挙げて解説していきます。
トポロジーの基本概念
まず、トポロジーにおける主要な考え方のひとつは、「連続的な変形」です。物体が変形されても、その構造に本質的な変化（切れ目や接続の変化）がなければ、トポロジー的には同じものとみなされます。この変形を「同相（ホームオモルフィズム）」と呼びます。具体的には、コーヒーカップとドーナツ（トーラス）はトポロジー的には同じ形状です。なぜなら、コーヒーカップのハンドル部分とドーナツの穴は連続的な変形で変換できるからです。
例1: 同相の例 - コーヒーカップとドーナツ
コーヒーカップは、ハンドルが1つ付いた容器として認識されますが、トポロジー的にはこのハンドルが重要です。ドーナツも同様に、1つの穴を持っています。これらの物体は、切断したり、穴を追加したりしなければ、連続的に変形させることが可能です。したがって、トポロジー的にはこれらは同じものとみなされます。
集合と位相空間
トポロジーは「位相空間」という概念に基づいており、集合論の拡張とみなすことができます。位相空間とは、集合 $X$ に対して「開集合」と呼ばれる部分集合の集合が定義されたものです。この開集合は、空間内の点がどのように配置されているかを記述するものであり、トポロジー的性質を研究するための基盤となります。
定義: 位相空間
集合 $X$ に対して、その部分集合族 $\mathcal{T}$ が以下の条件を満たすとき、$(X, \mathcal{T})$ を位相空間と呼びます。
- $X \in \mathcal{T}$ かつ $\emptyset \in \mathcal{T}$（$X$ と空集合は常に開集合）
- 任意の開集合の和は開集合である。（開集合の無限個の和も含まれる）
- 任意の開集合の有限個の積（交わり）は開集合である。
例2: 実数直線上の標準位相
実数直線 $\mathbb{R}$ 上の位相空間の例を考えます。通常のトポロジーでは、実数直線の開集合は「開区間」で定義されます。たとえば、$(-1, 1)$ や $(0, 2)$ といった区間が開集合です。このように、実数直線上の各点の周りには開集合が存在するという性質がトポロジーの基本的な特徴です。
ホモトピーとホモロジー
トポロジーでは、物体の「形状」をより詳細に理解するために、ホモトピーやホモロジーという概念が登場します。これらは、より複雑なトポロジカル空間を扱うためのツールであり、空間がどのように接続されているか、または空間内のループや表面がどのように変形できるかを研究します。
ホモトピー
ホモトピーは、2つの連続写像が「連続的に変形可能かどうか」を調べるための概念です。写像 $f: X \to Y$ と $g: X \to Y$ がホモトピーであるとは、ある連続関数 $H: X \times [0,1] \to Y$ が存在し、$H(x,0) = f(x)$ かつ $H(x,1) = g(x)$ を満たすときに言います。これにより、空間の連続的な変形が可能かどうかを判断できます。
ホモロジー
一方、ホモロジーは空間の「穴」の構造を数えるための概念です。たとえば、トーラス（ドーナツ型の空間）には1次ホモロジーとして「1つの縦の穴」と「1つの横の穴」があります。ホモロジーはこれらの穴の数を定量的に把握するためのツールとして使用されます。
ホモロジーは、主に位相空間の次元ごとの構造を調べるために使われます。空間内の$n$次元のホモロジー群を求めることで、その空間の形状がどのようなものであるかが分かります。次の数式は、ホモロジー群の定義を示します。
ここで、$\partial_n$ は$n$次元の境界写像を表し、ホモロジー群は「境界のない$n$次元のサイクル」の集合を記述しています。
例3: 球面のホモロジー
球面（$S^2$）を例にとると、そのホモロジー群は次のようになります：
- $H_0(S^2) = \mathbb{Z}$：球面全体は1つの連結成分を持ちます。
- $H_1(S^2) = 0$：球面には1次の穴が存在しません。
- $H_2(S^2) = \mathbb{Z}$：球面の表面は2次ホモロジーとして1つの「2次元の空間」を持ちます。
結論
トポロジーは、物体の形状や構造を連続的な変形に焦点を当てて研究する分野であり、実生活のさまざまな場面に応用されています。位相空間の概念や、ホモトピーやホモロジーといったツールを用いることで、物体の接続性や穴の数といった性質を定量的に理解することができます。